Zielony Smok - logo witryny

System sześćdziesiętny (1)

Krótka historia

Mapa Mezopotamii
Mapa Mezopotamii (rys. Jacek Piechota)

System ten powstał na terenie Mezopotamii, gdzie posługiwali się nim Sumerowie (już około 4000 r. p.n.e.), następnie Akkadyjczycy (ok. 3000 r. p.n.e), a potem Babilończycy.

Wszystkie te ludy posługiwały się pismem klinowym, a więc i działania matematyczne zapisywano przy użyciu tego pisma.

Pisano na mokrych glinianych tabliczkach, które w razie potrzeby zachowania zapisu – wypalano albo wyrównywano i używano ponownie.

Zarówno język jak i system liczenia czy systemy zapisu to żywe twory, które ulegają ciągłym zmianom. Jeśli chcesz dowiedzieć się więcej na temat dziejów pisma klinowego i systemu sześcdziesiętnego przeczytaj książkę Georga Ifraha Historia powszechna cyfr.

Infrastruktura

Mezopotamczycy budowali miasta z systemami nawadniania. Mieli rozwinięty system prawny, znakomitą administrację. Znali pocztę. Wszystko to wymagało dość zaawansowanej matematyki.

System wiedzy

Babilończycy mieli rozwiniętą astronomię i matematykę. Znano już liczby do setek milionów, pojęcia ułamków, odwrotności, kwadratów i sześcianów liczb. Znano cztery działania oraz potęgowanie i pierwiastkowanie. Umiano obliczać powierzchnie figur i objętości brył geometrycznych. Obliczano pola powierzchni pięciokąta, sześciokąta i siedmiokąta wpisanego w koło. Znano twierdzenie Pitagorasa. Rozwiązywano równania liniowe. Znano algorytm rozwiązywania równań kwadratowych. Rozwiązywano niektóre równania dwukwadratowe i sześcienne. Stosowano tablice matematyczne oraz liczydła (abakusy). Stosowano tabliczki mnożenia, tablice kwadratów, sześcianów, pierwiastków, odwrotności potęg (logarytmów!), tablice pozwalające na obliczenia trójkątów z użyciem twierdzenia Pitagorasa.

To właśnie Babilończycy podzielili dobę na 24 godziny, godzinę na 60 minut, minutę na 60 sekund.

System sześćdziesiętny ma również zastosowanie przy obliczaniu kątów.

System sześćdziesiątkowy babilońskich uczonych

Początkowo system nie był pozycyjny i dopiero Babilończycy zaczęli stosować zapis pozycyjny. Było to prawdopodobnie ich największe osiągnięcie matematyczne.

Prezentujemy tutaj system babilońskich uczonych z ok. XIX stulenia p.n.e, gdy znano już system pozycyjny.

Używane znaki

Używano jedynie 2 znaków:

Liczby w piśmie klinowym

Liczby od 1 do 59

Z tych cyfr można było ułożyć wszystkie liczby:

 

10 w systemie 60

20 w systemie 60

30 w systemie 60

40 w systemie 60

50 w systemie 60

1 w systemie 60

11 w systemie 60

21 w systemie 60

31 w systemie 60

41 w systemie 60

51 w systemie 60

2 w systemie 60

12 w systemie 60

22 w systemie 60

32 w systemie 60

42 w systemie 60

52 w systemie 60

3 w systemie 60

13 w systemie 60

23 w systemie 60

33 w systemie 60

43 w systemie 60

53 w systemie 60

4 w systemie 60

14 w systemie 60

24 w systemie 60

34 w systemie 60

44 w systemie 60

54 w systemie 60

5 w systemie 60

15 w systemie 60

25 w systemie 60

35 w systemie 60

45 w systemie 60

55 w systemie 60

6 w systemie 60

16 w systemie 60

26 w systemie 60

36 w systemie 60

46 w systemie 60

56 w systemie 60

7 w systemie 60

17 w systemie 60

27 w systemie 60

37 w systemie 60

47 w systemie 60

57 w systemie 60

8 w systemie 60

18 w systemie 60

28 w systemie 60

38 w systemie 60

48 w systemie 60

58 w systemie 60

9 w systemie 60

19 w systemie 60

29 w systemie 60

39 w systemie 60

49 w systemie 60

59 w systemie 60

Cyfra 9 była przedstawiana również jako Cyfra 9 w systemie 60 albo Cyfra 9 w systemie 60.

Liczby większe od 59

Liczby zapisywano pozycyjnie:

System 60 - pozycyjny zapis liczb

Każda następna liczba po lewej stronie oddzielona spacją od liczby na prawo oznaczała następną potęgę 60:

604  603  602  601  600

A więc liczba Pismo klinowe zapisana dziesiętnie:

2  43  27  11  2 oznaczała:

2×604 + 43×603 + 27×602 + 11×601 + 2×600 czyli

2×12 960 000 + 43×216 000 + 27×3600 + 11×60 + 2×1 czyli

25 920 000 + 9 288 000 + 97 200 + 660 + 2 czyli

35 305 862

Podatność na błędy

Ludzie zawsze popełniali błędy. Pisarz nieuważny, czy pracujący w pośpiechu mógł łatwo pominąć spację. Jak odróżnić:

Błędy w piśmie klinowym

Pierwsza liczba to 2, druga to 61.

Albo:

Błędy w piśmie klinowym

Czy to 20 czy 610?

Wynalezienie zera

Jeżeli pisarz wykonywał działanie: Pismo klinowe podniesione do kwadratu, to otrzymywał klin7, które łatwo mogło być pomylone z Pismo klinowe
(tabl. AO 17264, Luwr).

147 =[2,27]

1472 = 21609 = [6;0;9] czy [6;9] = 369?

Zapewne z powodu tych kłopotów wymyślono zero (ok. 300 r. p.n.e). Zero było przedstawiane jako Pismo klinowe.

Istniały też inne znaki oznaczające zero.

Tak przedstawiona liczba: Pismo klinowe nie budzi żadnych wątpliwości.

Tabliczka mnożenia

Babilończycy powszechnie stosowali tablice matematyczne. Np. tabliczka MDP XXXIV tekst IV, tabl. K, Luwr ułatwia mnożenie danej liczby przez 25:

Górna strona tabliczki
Dolna strona tabliczki
Górna i spodnia strona tabliczki

W transkrypcji wygląda to tak:

Transkrypcja tabliczki
Transkrypcja tabliczki

W oryginale tabliczki jest błąd przy liczbie 19. Podane liczby w transkrypcji były [7;45], czyli [465], co nie jest prawdą!

Mnożenie przez 25 z użyciem tabliczki mnożenia

Mnożymy 692 = [11;32] x 25

Po prawej stronie umieszczamy mnożną.

Mnożenie etap 1
Mnożenie etap I

W tabliczce mnożenia przez 25 szukamy iloczynu odpowiadającego liczbie 2. Jest to liczba 50. Umieszczamy ją w kolumnie jedności:

Mnożenie etap 2
Mnożenie etap II

Z zapisu 32 po prawej stronie usuwamy 2, gdyż zostało już wykorzystane. W tabliczce mnożenia przez 25 szukamy odpowiednika liczby 30. Jest to liczba [12;30]. 30 umieszczamy w kolumnie jedności, a 12 w kolumnie 601

Mnożenie etap 3
Mnożenie etap III

Ponieważ 30 już wykorzystaliśmy usuwamy go z obliczeń. W tabliczce mnożenia przez 25 szukamy odpowiednika dla liczby 11. Jest to liczba [4;35]. 35 zapisujemy w kolumnie 601, a liczbę 4 w kolumnie 602.

Mnożenie - etap 4
Mnożenie etap IV

Usuwamy 11 ponieważ zostało już wykorzystane. Porządkujemy wyniki. W kolumnie 600 jest 8 ‘gwoździ’. 6 z nich usuwamy, a w kolumnie 601 dodajemy 1. W ten sposób w kolumnie 600 pozostają dwa ‘gwoździe’

Mnożenie etap 5
Mnożenie etap V

W kolumnie 601 mamy teraz 4 ‘haki’ i 8 ‘gwoździ’ Usuwamy je wszystkie i zastępujemy liczbą 48.

Mnożenie - etap 6
Mnożenie etap VI

Układamy ładnie i odczytujemy wynik:

Mnożenie - etap 7
Mnożenie etap VII

Wynik to [4;48;20] = 4×602 + 48×60 + 20 = 14 400 + 2 880 + 20 = 17 300

Następna część artykułu