Liczby i ciąg Fibonacciego

Liczby i ciąg Fibonacciego

Ciąg Fibonacciego

Jest to ciąg liczb naturalnych określonych rekurencyjnie:

czyli:

F₀ = 0 (niektórzy matematycy nie zaliczają 0 do wyrazów ciągu)
F₁ = 1
F₂ = 0 + 1 = 1
F₃ = 1 + 1 = 2
F₄ = 2 + 1 = 3
F₅ = 3+ 2 = 5
F₆ = 5 + 3 = 8
F₇ = 8 + 5 = 13

A oto pierwsze 92 wyrazy ciągu.

Granica

Stosunek przy n dążącym do nieskończoności dąży do liczby Φ (która jest granicą ciągu), czyli im dalsze wyrazy ciągu porównujemy, tym stosunek ten jest lepszym przybliżeniem liczby Φ.

Wzór Bineta

Jeżeli chcemy obliczyć n-ty wyraz ciągu możemy skorzystać z wzoru Bineta:

Ponieważ drugi człon równania szybko zbiega do 0 można, szczególnie przy dalszych wyrazach ciągu, używać wzoru:

np. = 12.98 ≈ 13

Inna postać tego wzoru:

Dwusetny wyraz ciągu obliczony w ten sposób:

10-tysięczny wyraz ciągu F₁₀₀₀₀=

3364476487643178326662161200510754331030214846068006390656476997468008144216666
2368155595513633734025582065332680836159373734790483865268263040892463056431887
3545443695598274916066020998841839338646527313000888302692356736131351175792974
3785441375213052050434770160226475831890652789085515436615958298727968298751063
1200575428783453215515103870818298969791613127856265033195487140214287532698187
9620469360978799003509623022910263681314931952756302278376284415403605844025721
1433496118002309120828704608892396232883546150577658327125254609359112820392528
5393434620904245248929403901706233888991085841065183173360437470737908552631764
3257339937128719375877468974799263058370657428301616374089691784263786242128352
5811282051637029808933209990570792006436742620238978311147005407499845925036063
3560933883831923386783056136435351892133279732908133732642652633989763922723407
8829281779535805709936910491754708089318410561463223382174656373212482263830921
0329770164805472624384237486241145309381220656491403275108664339451751216152654
5361333111314042436854805106765843493523836959653428071768775328348234345557366
7197313927462736291082106792807847180353291311767789246590899386354593278945237
7767440619224033763867400402133034329749690202832814593341882681768389307200363
4795623117103101291953169794607632737589253530772552375943788434504067715555779
0564504430166401194625809722167297586150269684431469520346149322911059706762432
6851599283470989128470674086200858713501626031207190317208609408129832158107728
2076353186624611278245537208532365305775956430072517744315051539600905168603220
3491632226408852488524331580515348496224348482993809050704834824493274537326245
6775587908918719080366205800959474315005240253270974699531877072437682590741993
9632265984147498193609285223945039707165443156421328157688908058783183404917434
5562705202235648464951961124602683139709750693826487066132645076650746115126775
2274862159864253071129844118262266105716351506926002986170494542504749137811515
4139941550671256271197133252763631939606902895650288268608362241082050562430701
794976171121233066073310059947366875

Liczba cyfr w powyższej liczbie:

[217, 199, 228, 254, 194, 202, 217, 198, 197, 184, 2090]

Kolejne liczby oznaczają częstość występowania 0, 1, 2,…9. Ostatnia liczba określa sumę poprzedzających ją liczb.

Najważniejsze właściwości

Właściwość 1

Wyrazy ciągu Fibonacciego można wyrazić za pomocą symbolu Newtona jako:

gdzie:

oznacza sumę x-ów od k=1 do k=n,

co znaczy, że np.

= =1+3+1+0+0=5

= 1 + 4 + 3 + 0 + 0 + 0 = 8

Jeżeli zaznaczymy kolejne wyrazy ciągu:

to zobaczymy, że sumy wyrazów leżących na kolejnych prostych równoległych są kolejnymi wyrazami ciągu Fibonacciego.

Przykład

F₃ = 2, F₆=8, F₉=34, etc.

Właściwość 2

co znaczy, że np suma wyrazów ciągu od pierwszego do k-tego równa się wyrazowi k+2 od którego odjęto 1

Suma wyrazów od k = 1 do k = 5 wynosi

= 0 + 1 + 1 + 2 + 3 + 5 = 12

F₇ = 13

czyli,

12 = 13 – 1

Przykład

F₃=3, F₇=21, F₁₁=89, etc.

Właściwość 3

Jeżeli k = 5 to:
F₀ = 0, k = 0
F₁ = 1, k = 1
F₂ = 1, k = 2
F₃ = 2, k = 3
F₄ = 3, k = 4
F₅ = 5, k = 5

mnożymy kolejno wyrazy ciągu przez k:

= 0*0 + 1*1 + 1*2 + 2*3 + 3*4 + 5*5 = 0 + 1 + 2 + 6 + 12 + 25 = 46

czyli 46 = 65 – 21 + 2

Przykład

n = 8, k = 4, to ponieważ 8 dzieli się przez 4 to F₈ dzieli się przez F₄

Właściwość 4

czyli suma kwadratów wyrazów ciągu od k = 1 do k jest równa iloczynowi k-tego wyrazu ciągu przez wyraz k + 1.

Jeżeli k = 6, to suma kwadratów równa się:

1*1+1*1+2*2+3*3+5*5+8*8=104

104 = 8*13

Największy wspólny dzielnik (nwd)

Liczba d jest nwd liczb a i b jeśli spełnione są dwa warunki:

• a dzieli się przez d i b dzieli się przez d
• jeżeli a dzieli się przez c i b dzieli się przez c, to i d dzieli się przez c

Przykład

F₁₈ = 2584, czyli m = 18

F₁₅ = 610, czyli n = 15

nwd(m,n) = nwd(18, 15) = 3

Właściwość 5

Jeżeli n = 4 to

Właściwość 6

Jeżeli n =4, to

Właściwość 7

Jeżeli n = 5 to

8*3 – 25 = 24-25=-1

Właściwość 8

Jeżeli np. n = 5, m = 4 to

8*3 + 5*2 = 24 + 10 = 34 =

Właściwość 9

Jedyne liczby w ciągu, które są kwadratami liczb całkowitych to 1 i 144.

Właściwość 10

Każda liczba naturalna (a więc również liczba Fibonacciego) ma wielokrotność, która jest liczbą Fibonacciego, np. 5 ma wielokrotność 55, 4 ma wielokrotność 144, etc.

Właściwość 11

Istnieje nieskończenie wiele liczb n dla których zachodzi podzielność F_n przez n. Szczególnie można wykazać, że jeśli n jest liczbą naturalną, to

jest podzielne przez

Jeżeli n = 2 to

75025

jest podzielne przez 25

Właściwość 12

Właściwość 13

1. Co trzecia liczba Fibonacciego jest podzielna przez 2
2. Co czwarta liczba jest podzielna przez 3
3. Co można uogólnić: Jeśli n dzieli się przez k to F_n dzieli się przez F_k
4. Największy wspólny dzielnik dwóch liczb Fibonacciego jest liczbą Fibonacciego, której numer jest równy największemu wspólnemu dzielnikowi numerów tych liczb:

Właściwość 14

Każda liczba jest sumą dwóch lub więcej liczb Fibonacciego. Np. liczba 999999 jest sumą 7 liczb Fibonacciego:

2 + 5 + 13 + 34 + 144 + 46368 + 121393 + 832040

Inne właściwości

W literaturze można spotkać setki właściwości.

Ciekawostki, występowanie i zastosowania

F₁₀₀₀₀ jest numerologiczną szóstką.

Kwadraty Fibonacciego

Jest to ciąg kwadratów, których długości boków są kolejnymi liczbami Fibonacciego.

Spirala Fibonacciego

Jeżeli w kwadraty Fibonacciego wpiszemy ćwiartki łuku uzyskamy spiralę Fibonacciego bardzo podobną do złotej spirali.

Ciąg Fibonacciego w systemie dwójkowym

Jeśli kolejne wyrazy zapiszemy w systemie dwójkowym, jeden pod drugim, z wyrównaniem do prawej strony, po zastąpieniu każdej jedynki kolorowym kwadracikiem o boku 1, to otrzymamy strukturę przypominającą fraktal.

Liczby Rahaba

Szczegółowe informacje znajdziesz tutaj

Wśród błonkówek

Samce pszczoły (trutnie) powstają bez udziału ojca, mają tylko matkę (królową).

Królowe mają ojca (trutnia) i matkę (królową).

Pokolenie (n)	Samica	Truteń	Razem
0			1
1	1		1
2	1	1	2
3	2	1	3
4	3	2	5
Ogółem	n-1	n-2	(n-1)+(n-2)

Jak widzimy kolejne liczby przodków są liczbami Fibonacciego.

Rozmnażanie królików

Zadanie Fibonacciego

Ile par królików będziesz miał po roku jeśli:

• Zaczynamy od jednej pary królików.
• Każda nowa para staje się płodna po 2 miesiącach.
• Każda para rodzi jedną nową parę co miesiąc.
• Króliki w tym czasie nie umierają.

Rozwiązanie

Jak widzimy liczba par to kolejne liczby ciągu Fibonacciego. tzn., że w grudniu będzie ich 144, a w styczniu 233.

Filotaksja i złoty kąt

Zajrzyj tutaj.

Pędy boczne na pędzie głównym

Zadanie

Drzewo co roku wypuszcza nowe pędy, a każda nowa gałąź wypuszcza nowy pęd dopiero po dwóch latach. Ile gałęzi będzie miało drzewo po 6 latach?

Rozwiązanie

Więcej biologii

Odległość między spiralami DNA i skok tych spiral jest zgodna z liczbą φ.

Kształty roślin i ich części

W owocu ananasa 8 linii spiralnych biegnie w jedną stronę, a 5 albo 13 w drugą stronę.

Na tarczy słonecznika krzyżuje się 21 i 34 albo 55, a czasami 89 spiral (lub nawet więcej).

Różyczki kalafiora ułożone są spiralnie.

Łuski szyszek wielu gatunków są ułożone spiralnie.

Liczba płatków w kwiatach u wielu gatunków jest liczbą Fibonacciego (jest to cecha gatunkowa). Spotyka się liczby: 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89. Oczywiście znaczna liczba gatunków ma liczbę płatków, która nie jest liczbą Fibonacciego.

Kształty zwierząt i ich części

Muszle ślimaków tworzą skręty zgodne ze spiralą Fibonacciego.

Proporcje ciała niektórych bezkręgowców zbliżają się do liczby φ.

Muzyka

Utwory muzyczne

Liczby i ciąg Fibonacciego spotykane są np. w muzyce i są widoczne w rytmie i harmonii oraz długości dźwięków w niektórych utworach muzycznych. Jeżeli jesteś zainteresowany tym tematem, to znajdziesz sporo ogólnikowych informacji w Internecie. Dokładniejsze wymagały by większej wiedzy muzycznej i dostępu do nut utworów w celu szczegółowej analizy.

Więcej informacji

Więcej informacji 2

Proporcje skrzypiec

Literatura

Np. w powieści D. Browna “Kod Leonarda da Vinci” ciąg Fibonacciego ma istotne znaczenie dla przebiegu akcji.

Liczby Fibonacciego w kulturze masowej

Ekonomia

W przyrodzie istnieją prawa natury (ustanowione przez Boga lub nie), np. dobór naturalny, które wymuszają efektywność energetyczną, co często skutkuje wykorzystaniem układów opisywanych przez liczbę φ i wyrazy ciągu Fibonacciego. W ekonomii nie ma żadnego prawa (ani czynnika), które nakazywało by np. zmianom kursów akcji na giełdzie przebiegać w jakiś mniej czy bardziej efektywny sposób lub zgodny z jakimś wzorem czy układem. Dlatego wszelkie zbieżności trendów z ciągiem Fibonacciego są przypadkowe i krótkotrwałe (i te właśnie są podawane jako przykład).

Potwierdzają to wszystkie badania naukowe.

Informatyka

Słowa Fibonacciego

Copyright Jacek Piechota, Opublikowano 9 stycznia 2016