System sześćdziesiętny (2)

Tablice kwadratów i sześcianów

W 1854 r. w Senkerah nad Eufratem znaleziono dwie tabliczki z ok. 2000 r. p.n.e. zawierające kwadraty liczb od 1 do 59 oraz sześciany liczb od 1 do 32

Załóżmy, że mamy odpowiednią tabliczkę kwadratów:

klin25

52 = [25] = 25;

412 = [28,1] = 1681;

Mamy do pomnożenia 23 x 18 =?

Używamy algorytmu ab=[(a+b)2 - (a-b)2]/4 czyli

23 x 18 = [(23+18)2 - (23-18)2]/4 czyli

  18 * 23 = ?
  +   -    
  23   18    
  =   =    
  41   5    
           
kwadrat 1681 - 25 = 1656
        / 4
        = 414

czyli;

  system 60 * system 60 = [?]
  +   -    
  system 60   system 60    
  =   =    
  system 60   system 60    
           
kwadrat system 60 - system 60 = system 60
        / system 60
        = system 60

czyli

  [18] * [23] = [?]
  +   -    
  [23]   [18]    
  =   =    
  [41]   [5]    
           
kwadrat [28;1] - [25] = [27;36]
        / [4]
        = [6;54]

Innym algorytmem było:

ab = [(a+b)2 - a2 - b2]/2

Ułamki

Ułamki były znane już wcześniej, ale dopiero zastosowanie zera umożliwiło zapobieganiu błędom przy używaniu ułamków.

Babilończycy stosowali tabele ułamków nawet do kilku milionów.

Ułamki były kolejnymi potęgami ujemnymi 60-1, 60-2, 60-3 czyli odpowiednio:

system 60

czyli

system 60

W poniższej tabeli 2 oznacza 1/2, 3 oznacza 1/3, etc.

Ułamek Zapis ułamka Zapis 60 Rozwinięcie
2 [0;30] system 60 system 60
3 [0;20]    
4 [0;15]    
5 [0;12]    
6 [0;10]    
8 [0;7;30] system 60 system 60
9 [0;6;40]    
10 [0;6]    
12 [0;5]    
15 [0;4]    
16 [0;3;45]    
18 [0;3;20]    
20 [0;3]    
24 [0;2;30]    
25 [0;2;24]    
27 [0;2;13;20]    

W powyższej tabeli brak zapisów dla ułamków, które nie są w tym układzie skończone.Takie ułamki zapisywano w przybliżeniu:

system 60

odnotowując, że jest to przybliżenie, a 1/90 odczytywano z tablicy.

system 60

Pierwiastek z 2 obliczano jako:

klin23

Liczbę Π określano jako 3.

Dzielenie

Babilończycy nie mieli algorytmu dzielenia. Dzielenie opierano na wiedzy, że:

klin21

Przy dzieleniu wykorzystywano tablice ułamków.

Aby podzielić 96/16 mnożono 96 przez 1/16:

system 60 czyli mnożono

[1;36] x [0;3,45], co jak widać:

system 60

jest trywialnym obliczeniem :-)

Twierdzenie Pitagorasa

system 60
Tabliczka z ok. 1800-1700 r. p.n.e (Plimpton 322)(fot. unknown)

Tabliczka zapisana jest od prawej do lewej

W kolumnie I podane ja jest liczba porządkowa od 1 do 15.

Kolumna II zawiera słowo 'liczba'.

Kolumna III zaczyna się od słowa 'długość', a ponizej zapisane są wartości a.

Kolumna IV zaczyna się od słowa 'przekątna', po czym zapisane są kolejne wartości c

Kolumna V zawiera (ponoć) obliczone wartości b

Z obrazka według Historii powszechnej cyfr G. Ifraha str. 418 t. I wynika, że na tabliczce zapisane są dane dotyczące zależności między bokami trójkąta, znane jako twierdzenie Pitagorasa. Niestety nie miałem dostępu do cytowanej literatury, a z prezentowanego przykładu wcale (według mnie) nie wynikają takie zależności. Również podane wielkości nie układają się w trójkąty możliwe do zbudowania. Być może do opisu wkradł się jakiś błąd. Jeśli uda mi się dotrzeć do źródła uzupełnię ten opis. W książce podane są liczby odczytane z tabliczki.

Równania liniowe

Równanie linowe typu:

system 60

rozwiązywano korzystając z tablic ułamków.

system 60

Przy równaniu 6x = 96 obliczano [1;36] x [0;10].

Zadanie z tabliczki klinowej

Bierzemy system 60 z system 60 z pewnej ilości jęczmienia i dodajemy jeszcze system 60 jednostek jęczmienia. Ile mamy jęczmienia?

Rozwiązanie skryby

system 60

[0;40] x [0;40] = [0;26,40]

[1] - [0;26,40] = [0;33,20]

Odwrotność [0;33,20] odczytujemy z odpowiedniej tablicy: [1;48].

system 60

[1;48] x [1; 40] = [3;0]

Rozwiązanie współczesne

system 60

Równania kwadratowe

Babilończycy rozwiązywali równania typu:

system 60

Rozwiązanie tego równania wyglądało:

system 60

Zwróć uwagę, że jeżeli w równaniu przed b jest '-' to w rozwiązaniu przed b/2 jest '+' , a jeżeli w równaniu przed b jest '+' to w rozwiązaniu przed b/2 jest '-'.

Równanie:

system 60

rozwiążemy następująco:

system 60

Inne równania

Załóżmy, że mamy równanie:

system 60

A oto przykład:

system 60

Wola boga Marduka

Miasto Babilon zostało zburzone w czasie najazdu przez króla Sancheriba w 689 r p.n.e. Według przepowiedni z woli boga Marduka miasto miało być odbudowane dopiero po 70 latach od zburzenia. Król Asachardon, który panował w latatach 680 - 669 p.n.e chciał jednak odbudować miasto wcześniej, ale obawiał się ludu, według którego wcześniejsza odbudowa byłaby naruszeniem woli boga Marduka.

Wobec tego wymyślił historię, że początkowo bóg Marduk zapisał na Tabliczce Przeznaczenia liczbę 70 lat, ale potem ogarnięty litością odmienił swoją decyzję i zmienił porządek cyfr. W ten sposób pozwolił aby miasto odbudowano już po 11 latach.

Początkowo liczba na Tabliczce Przeznaczenia wyglądała tak:

system 60

Po zmianie wyglądała tak:

system 60

Zaiste bóg Marduk był prawdziwie miłosiernym bogiem.


Czasopismo: Blog Zielonego Smoka
Nr: 187
Autor: Jacek Piechota
Data publikacji: 17 czerwca 2016