System sześćdziesiętny

Krótka historia

Mapa Mezopotamii (rys. Jacek Piechota)

System ten powstał na terenie Mezopotamii, gdzie posługiwali się nim Sumerowie (już około 4000 r. p.n.e.), następnie Akkadyjczycy (ok. 3000 r. p.n.e), a potem Babilończycy.

Wszystkie te ludy posługiwały się pismem klinowym, a więc i działania matematyczne zapisywano przy użyciu tego pisma.

Pisano na mokrych glinianych tabliczkach, które w razie potrzeby zachowania zapisu - wypalano albo wyrównywano i używano ponownie.

Zarówno język jak i system liczenia czy systemy zapisu to żywe twory, które ulegają ciągłym zmianom. Jeśli chcesz dowiedzieć się więcej na temat dziejów pisma klinowego i systemu sześcdziesiątkowegp przeczytaj książkę Georga Ifraha Historia powszechna cyfr.

Infrastruktura

Mezopotamczycy budowali miasta z systemami nawadniania. Mieli rozwinięty system prawny, znakomitą administrację. Znali pocztę. Wszystko to wymagało dość zaawansowanej matematyki.

System wiedzy

Babilończycy mieli rozwiniętą astronomię i matematykę. Znano już liczby do setek milionów, pojęcia ułamków, odwrotności, kwadratów i sześcianów liczb. Znano cztery działania oraz potęgowanie i pierwiastkowanie. Umiano obliczać powierzchnie figur i objętości brył geometrycznych. Obliczano pola powierzchni pięciokąta, sześciokąta i siedmiokąta wpisanego w koło. Znano twierdzenie Pitagorasa. Rozwiązywano równania liniowe. Znano algorytm rozwiązywania równań kwadratowych. Rozwiązywano niektóre równania dwukwadratowe i sześcienne. Stosowano tablice matematyczne oraz liczydła (abakusy). Stosowano tabliczki mnożenia, tablice kwadratów, sześcianów, pierwiastów, odwrotności potęg (logarytmów!), tablice pozwalające na obliczenia trójątów z użyciem twierdzenia Pitagorasa.

To właśnie Babilończycy podzielili dobę na 24 godziny, godzinę na 60 minut, minutę na 60 sekund.

System sześćdziesiątkowy ma również zastosowanie przy obliczaniu kątów.

System sześćdziesiątkowy babilońskich uczonych

Początkowo system nie był pozycyjny i dopiero Babilończycy zaczęli stosować zapis pozycyjny. Było to prawdopodobnie ich największe osiągnięcie matematyczne.

Prezentujemy tutaj system babilońskich uczonych z ok. XIX stulenia p.n.e, gdy znano już system pozycyjny.

Używane znaki

Używano jedynie 2 znaków:

system 60

Liczby od 1 do 59

Z tych cyfr można było ułożyć wszystkie liczby:

 

system 60

system 60

system 60

system 60

system 60

system 60

system 60

system 60

system 60

system 60

system 60

system 60

system 60

system 60

system 60

system 60

system 60

system 60

system 60

system 60

system 60

system 60

system 60

system 60

system 60

system 60

system 60

system 60

system 60

system 60

system 60

system 60

system 60

system 60

system 60

system 60

system 60

system 60

system 60

system 60

system 60

system 60

system 60

system 60

system 60

system 60

system 60

system 60

system 60

system 60

system 60

system 60

system 60

system 60

system 60

system 60

system 60

system 60

system 60

Cyfra 9 była przedstawiana również jako system 60 albo system 60.

Liczby większe od 59

Liczby zapisywano pozycyjnie:

system 60

Każda następna liczba po lewej stronie oddzielona spacją od liczby na prawo oznaczała następną potęgę 60:

604  603  602  601  600

A więc liczba system 60 zapisana dziesiętnie:

2  43  27  11  2 oznaczała:

2x604 + 43x603 + 27x602 + 11x601 + 2x600 czyli

2x12 960 000 + 43x216 000 + 27x3600 + 11x60 + 2x1 czyli

25 920 000 + 9 288 000 + 97 200 + 660 + 2 czyli

35 305 862

Podatność na błędy

Ludzie zawsze popełniali błędy. Pisarz nieuważny, czy pracujący w pośpiechu mógł łatwo pominąć spację. Jak odróżnić:

system 60

Pierwsza liczba to 2, druga to 61.

Albo:

system 60

Czy to 20 czy 610?

Wynalezienie zera

Jeżeli pisarz wykonywał działanie: system 60 podniesione do kwadratu, to otrzymywał system 60, które łatwo mogło być pomylone z system 60
(tabl. AO 17264, Luwr).

147 =[2,27]

1472 = 21609 = [6;0;9] czy [6;9] = 369?

Zapewne z powodu tych kłopotów wymyśono zero (ok. 300 r. p.n.e). Zero było przedstawiane jako system 60.

Istniały też inne znaki oznaczające zero.

Tak przedstawiona liczba: system 60 nie budzi żadnych wątpliwości.

Tabliczka mnożenia

Babilończycy powszechnie stosowali tablice matematyczne. Np. tabliczka MDP XXXIV tekst IV, tabl. K, Luwr ułatwia mnożenie danej liczby przez 25:

system 60 system 60
Górna i spodnia strona tabliczki

W transkrypcji wygląda to tak:

Transkrypcja

W oryginale tabliczki jest błąd przy liczbie 19. Podane liczby w transkrypcji były [7;45], czyli [465], co nie jest prawdą!

Mnożenie przez 25 z użyciem tabliczki mnożenia

Mnożymy 692 = [11;32] x 25

Po prawej stronie umieszczamy mnożną.

Mnożenie etap I

W tabliczce mnożenia przez 25 szukamy iloczynu odpowiadającego liczbie 2. Jest to liczba 50. Umieszczamy ją w kolumnie jedności:

Mnożenie etap II

Z zapisu 32 po prawej stronie usuwamy 2, gdyż zostało już wykorzystane. W tabliczce mnożenia przez 25 szukamy odpowiednika liczby 30. Jest to liczba [12;30]. 30 umieszczamy w kolumnie jedności, a 12 w kolumnie 601

Mnożenie etap III

Ponieważ 30 już wykorzystaliśmy usuwamy go z obliczeń. W tabliczce mnożenia przez 25 szukamy odpowiednika dla liczby 11. Jest to liczba [4;35]. 35 zapisujemy w kolumnie 601, a liczbę 4 w kolumnie 602.

Mnożenie etap IV

Usuwamy 11 ponieważ zostało już wykorzystane. Porządkujemy wyniki. W kolumnie 600 jest 8 'gwoździ'. 6 z nich usuwamy, a w kolumnie 601 dodajemy 1. W ten sposób w kolumnie 600 pozostają dwa 'gwoździe'

Mnożenie etap V

W kolumnie 601 mamy teraz 4 'haki' i 8 'gwoździ' Usuwamy je wszystkie i zastępujemy liczbą 48.

Mnożenie etap VI

Układamy ładnie i odczytujemy wynik:

Mnożenie etap VII

Wynik to [4;48;20] = 4x602 + 48x60 + 20 = 14 400 + 2 880 + 20 = 17 300


Czasopismo: Blog Zielonego Smoka
Nr: 2
Autor: Jacek Piechota
Data publikacji: 27 czerwca 2017